f(x)=p(x)·e^(ax+b)
Mathematik
Basiswissen
Eine sogenannte verknüpfte oder zusammengesetze Funktion. Für die Ableitung benötigt man sowohl die Produkt- als auch die Kettenregel. Dieser Funktionstyp war von 2020 bis 2023 Gegenstand der Abiturprüfungen in Nordrhein-Westfalen. Die Funktion ist hier kurz erklärt.
Funktionstyp
- f(x)=p(x)·e^(ax+b)
Legende
- f ist der Funktionsname ↗
- x ist das Funktionsargument ↗
- Funktionsbezeichnung f(x) ↗
- ax+b linearer Term ↗
Verknüpfte oder zusammengesetzte Funktion
Der Funktionsterm p(x)·e^(ax+b) stellt eine Verknüpfung, auch Zusammensetzung, von zwei einfacheren Termen dar: der ganzrationale Term p(x) und der Expoentialterm e^(ax+b) werden per Multiplikation verknüpft oder zusammengesetzt. Lies mehr unter zusammengesetzte Funktion ↗
Ableiten über Produktregel
Der Funktionsterm p(x)·e^(ax+b) ist ein Produkt, bei dem auf zwei Seiten des Malzeichens mindestens ein x steht. Solang das gilt, muss man die sogenannte Produktregel zum Ableiten anwenden. Das p(x) setzt man dabei als u und das e^(ax+b) setzt man als v. Dann ist die Ableitung: u'·v+u·v'. Lies mehr unter ableiten über Produktregel ↗
Ableiten über Kettenregel
Der Term e^(ax+b) ist ein sogenannter Exponentialterm mit der sogenannten Eulerschschen Zahl e als Basis. Die Ableitung von genau diesem Funktionstyp ist dann immer: a·e^(ax+b). Zum Hintergrund lies unter e-Funktion ableiten [mit Kettenregel] ↗
y-Achsenabschnitt berechnen
Der y-Achsenabschnitt ist derjenige Punkt auf der y-Achse, durch den der Graph von f(x) hindurchgeht. Um ihn zu bestimmen, setzt man für x die Zahl 0 ein und berechnet den Funktionswert. Dieser Funktionswert ist dann auch der y-Achsenabschnitt berechnen ↗
Nullstellen berechnen
f(x)=p(x)·e^(ax+b) kann - muss aber nicht - eine Nullstelle haben. Man setzt für f(x) zunächst 0 ein und erhält: 0=p(x)·e^(ax+b). Der Exponentialterm e^(ax+b) kann niemals 0 werden. Aber der ganzrationale Term p(x) kann Nullstellen haben. Die Nullstellen von p(x) sind dann autonmatisch auch die Nullstellen von f(x). Der gedankliche Hintergrund zu diesem Lösungsansatz ist der Satz vom Nullprodukt ↗
=p(x)·e^(ax+b).png "zur Bildbeschreibung mit Autoren- und Urheberinfos")